《数学建模》厦门大学

《数学建模》厦门大学

参考:
http://www.icourse163.org/learn/XMU-1001556009?tid=1002060029#/learn/content?type=detail&id=1002715173

第一章 引言

1.1 何谓数学建模

  1. 量化思想成就了人类科学知识体系,成为了各门学科的基础。

1.2 确定性数学方法

  1. 初等数学方法
    • 最简定量关系
    • 函数关系
    • 建立函数关系的方法
    • 数据散点图
    • 自然定律
    • 初等方法建模
    • 拟合插值和回归

1.3 不确定性数学方法

  1. 概率与随机数学
    • 概率论
    • 随机过程
    • 马氏链模型
    • 蒙特卡罗模拟
    • 排队论与随机排队论
    • 存储论与随机存储论
  2. 统计方法:
    • 统计数据描述和分析
    • 参数估计
    • 假设检验
    • 回归分析
    • 一元线性分析
    • 多元线性分析
    • 逐步回归
    • 非线性回归
    • 方差分析
    • 单因素方差分析
    • 双因素方差分析
    • 方差分析的模型检验
    • 聚类分析
    • 判别分析
    • 主成分分析
    • 因子分析
    • 对应分析
    • 典型相关分析
    • 时间序列分析
    • 季节模型
    • 条件异方差模型
  3. 界限不分明的模糊性问题
    • 模糊数学方法
    • 模糊关系
    • 模糊矩阵
    • 模糊聚类分析方法
    • 模糊模式识别方法
    • 模糊综合评判方法
    • 灰色系统分析方法

1.4 数学与现实

  1. 数学分析问题的过程
    • 现实 —> 建模 —> 验证
    • 建模的过程和验证的过程,模型的搭建和验证往往需要特定行业的人来实现,而数学家研究的问题往往是基于建立好的模型。
    • 我们大学本科学的知识是理论的知识,也就是数学家应该学的知识。但是基于具体行业,我们应该做的是建立模型和验证模型的工作,这也是为什么我们觉得本科所学的数学没有用途的原因。(数学独立于其余社会自然科学)

1.5 数学建模和各学科

1.7 数学建模的多效性

  1. 人类活动的两种思路:
    1. 学习前人经验
    2. 从源头出发,创新思维,大数据分析与建模

1.8 变量识别

  1. 建模最重要的一步:识别变量。

  2. 情形:

    • 所研究的现象或事件中所有变量明确,自变量和因变量都明确。
    • 因变量明确,自变量不明确。
    • 自变量明确,因变量不明确。
    • 因变量和自变量都不明确。

1.9 数学建模步骤

  1. 建立的模型如果不能解决实际问题,就是废纸一张

第二章 初等数据处理方法

2.1 简述方法论

  1. 类比 + 创新

  2. 最简定量关系

    • 最简关系:函数关系
  3. 建立函数关系的方法
    1. 观察法
    2. 拟合法
    3. 插值法

2.2 观察法和初等数学方法

  1. 通过大量数据
    • 利用变量之间比例的性质
  2. 观察法与初等数学结合

2.3 数据拟合方法

  1. 作为数据处理的基本方法,拟合和插值都要求通过已知的观测数据,去寻求某个近似函数,使得近似函数与已知数据具有较高的拟合精度。

  2. 拟合,要求在某种意义下,在拟合曲线的点上的总偏差最小,用来反映数据的基本趋势。

  3. Chebyshev准则:确定函数关系,$$y=f(x)$$的参数,从而极小化数量$$\max\left|y_i-y_i(x)\right|, i=1,2,…,m$$。

  4. 最小二乘准则:确定函数关系,极小化和数$$\sum^{m}_{i=1} \left| y_i – f(x_i) \right| ^2$$

  5. 数据拟合有三种判别准则:

    1. 使偏差的绝对值之和最小
    2. 使偏差的最大绝对值最小
    3. 使偏差的平方和最小

2.4 插值方法

  1. 几种基本的插值方法:
    • 拉格朗日插值法
    • Hermite 插值法
    • 分段线性插值法
    • 三次样条插值法
  2. 拉格朗日插值法

  3. 牛顿插值法

    • 差商
  4. Hermite 插值方法
    • 主要用于要求函数值和函数倒数值都与给定点相等的情况。
  5. 样条插值
    • 问题描述:给定区间[a, b]的一个分化,
    • 样条函数,一般形式为

$$
s_k(x) = \sum^{k}_{i=0} \frac{a_i x^i}{i!} + \sum^{n-1}_{j=1} \frac{\beta_j}{k!}(x – x_j)^k
$$

2.5 拟合插值的 Matlab

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